Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano . Determinar a derivada direcional da temperatura no ponto e na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a distribuição de temperatura no plano . O objetivo é encontrar a derivada direcional dessa temperatura no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional e o gradiente de uma função. Além disso, vamos precisar normalizar o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Com as derivadas parciais, o gradiente da função fica:
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto .

Passo 6

Substituindo e na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 7

Agora, vamos normalizar o vetor de direção . Isso significa transformar em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 8

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor unitário :
Vamos calcular isso substituindo os valores que encontramos.

Passo 9

Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional da temperatura no ponto na direção de é aproximadamente graus Celsius por metro.

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