Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano . Determinar a derivada direcional da temperatura no ponto e na direção de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a distribuição de temperatura no plano . O objetivo é encontrar a derivada direcional dessa temperatura no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional e o gradiente de uma função. Além disso, vamos precisar normalizar o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Com as derivadas parciais, o gradiente da função fica:
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto .
Passo 6
Substituindo e na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 7
Agora, vamos normalizar o vetor de direção . Isso significa transformar em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 8
A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor unitário :
Vamos calcular isso substituindo os valores que encontramos.
Passo 9
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional da temperatura no ponto na direção de é aproximadamente graus Celsius por metro.