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Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
a)
;
Obter as soluções gerais das EDO de
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolvermos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
. Isso significa que vamos encontrar uma função
que satisfaça essa equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou identificar se a equação é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar em uma forma mais amigável. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Queremos isolar
, então dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora temos uma equação diferencial na forma:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolver usando separação de variáveis. Ou seja, vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 4
Separando as variáveis, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Passo 5
Integrando os dois lados:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver em termos de
, vamos “desfazer” o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos escrever
como outra constante
, então:
Removendo os valores absolutos, temos a solução geral:
Resposta
A solução geral da EDO
é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Qual é a taxa máxima de variação de
no ponto
?
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) ;
d)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
j) ;
j)