Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariable, especialmente sobre derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para isso, precisamos de dois passos principais:
  1. Encontrar o vetor direção, ou seja, a direção de para .
  2. Calcular o gradiente da função no ponto e usá-lo para achar a derivada direcional.

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor direção. Isso é feito subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor direção é .

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque na definição da derivada direcional usamos um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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.
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