Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariable, especialmente sobre derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para isso, precisamos de dois passos principais:
- Encontrar o vetor direção, ou seja, a direção de
para . - Calcular o gradiente da função no ponto
e usá-lo para achar a derivada direcional.
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor direção. Isso é feito subtraindo as coordenadas de
pelas de
:
Então, o vetor direção é
.
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor direção para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque na definição da derivada direcional usamos um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Determine e esboce o domínio da função
, dada por
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e
e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
.
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto ?
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto