Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e
e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
.
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto
?
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto
Passo 1
Então, a gente tem uma função
, que representa a temperatura em graus Celsius em um ponto qualquer do plano
. A pergunta é sobre qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente em um ponto específico
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre gradiente e como ele indica a direção de maior crescimento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Então, para encontrar a direção de maior crescimento da temperatura em
, precisamos calcular o gradiente de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
,
, e a derivada parcial em relação a
,
, nos darão os componentes do gradiente.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Então, o gradiente de
é:
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da temperatura no ponto
.
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura no ponto
é dada pelo vetor gradiente
.
Exercícios relacionados
Determine e esboce o domínio da função
, dada por
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de
a
.
Encontre a taxa máxima de variação de
no ponto
e determine em que direção ocorre.
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e
e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
.
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?