Suponha que a função T(x, y) = 60 / ((x^2 + y^2)^2), em que T é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano x y.
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?

Passo 1

Então, a gente tem uma função T(x, y) = 60 / ((x^2 + y^2)^2), que representa a temperatura em graus Celsius em um ponto qualquer do plano xy. A pergunta é sobre qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente em um ponto específico P. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre gradiente e como ele indica a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Então, para encontrar a direção de maior crescimento da temperatura em P, precisamos calcular o gradiente de T(x, y).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T em relação a x e y. A derivada parcial em relação a x, , e a derivada parcial em relação a y, , nos darão os componentes do gradiente.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Então, o gradiente de T é:
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da temperatura no ponto P(x, y).

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto P é dada pelo vetor gradiente .

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