Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano .
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto ?

Passo 1

Então, a gente tem uma função , que representa a temperatura em graus Celsius em um ponto qualquer do plano . A pergunta é sobre qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente em um ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre gradiente e como ele indica a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Então, para encontrar a direção de maior crescimento da temperatura em , precisamos calcular o gradiente de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a , , e a derivada parcial em relação a , , nos darão os componentes do gradiente.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Então, o gradiente de é:
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da temperatura no ponto .

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura no ponto é dada pelo vetor gradiente .

Exercícios relacionados

Determine e esboce o domínio da função , dada por
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção de a .
Encontre a taxa máxima de variação de no ponto e determine em que direção ocorre.
Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano .
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?