Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Qual a direção de máxima variação de no ponto ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Além disso, precisamos descobrir qual é a direção de máxima variação de nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica é basicamente a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente em é:

Passo 5

A próxima coisa que precisamos fazer é normalizar o vetor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Multiplicando o gradiente pelo vetor unitário:

Passo 7

Então, a derivada direcional de em na direção do vetor é 0. Isso significa que, nessa direção específica, a função não está aumentando nem diminuindo naquele ponto.

Passo 8

Agora, para encontrar a direção de máxima variação de no ponto , sabemos que essa direção é exatamente a direção do gradiente . O gradiente aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente.
Então, a direção de máxima variação de em é o próprio gradiente:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é 0. A direção de máxima variação de no ponto é .

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