Encontre a derivada para cada função abaixo:
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente a derivada da função arco cosecante. Para isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada para funções compostas e a fórmula da derivada da arco cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da derivada da arco cosecante. A derivada de em relação a é dada por:
Essa fórmula nos mostra como derivar a função arco cosecante em termos de uma função interior .

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da arco cosecante é . Então, precisamos primeiro derivar essa função em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de com relação a :
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de . A regra da cadeia nos diz que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Agora, substituímos de volta por :
Simplificando:

Resposta

A derivada de é:

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(f)
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(k)
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(q)
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(t)