Encontre a derivada
para cada função abaixo:
(q)
(q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada de uma função que envolve raiz quadrada, seno e uma fração. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar usar essas regras para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Como temos uma fração, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que para
, a derivada é:
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
. Começando por
:
Passo 5
Para achar
, vamos notar que
é um produto de duas funções:
e . Vamos usar a Regra do Produto, que diz que para
, a derivada é:
Passo 6
Primeiro, calculemos
onde
:
Passo 7
Agora, calculemos
onde . Aqui usamos a Regra da Cadeia, que para é:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão da Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos
e
, aplicamos a Regra do Quociente:
Passo 10
Podemos simplificar a expressão no numerador:
Passo 11
Distribuindo
:
Passo 12
Simplificando os termos:
Passo 13
Para consolidar, podemos fatorar nos primeiros dois termos:
Passo 14
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 15
Substituindo de volta:
Resposta
A derivada de
é:
Ou, simplificando:
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Encontre a derivada
para cada função abaixo:
(j)
(j)
Encontre a derivada
para cada função abaixo:
(f)
(f)
Encontre a derivada
para cada função abaixo:
(t)
(t)
Use o conceito de aproximação linear para encontrar valores aproximados para os números dados. Em cada caso, deixe claro qual é a função
escolhida para a aproximação.
(b)
(b)