Encontre a derivada para cada função abaixo:
(q)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada de uma função que envolve raiz quadrada, seno e uma fração. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar usar essas regras para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Como temos uma fração, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que para , a derivada é:

Passo 3

Vamos identificar e :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e . Começando por :

Passo 5

Para achar , vamos notar que é um produto de duas funções: e . Vamos usar a Regra do Produto, que diz que para , a derivada é:

Passo 6

Primeiro, calculemos onde :

Passo 7

Agora, calculemos onde . Aqui usamos a Regra da Cadeia, que para é:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão da Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 10

Podemos simplificar a expressão no numerador:

Passo 11

Distribuindo :

Passo 12

Simplificando os termos:

Passo 13

Para consolidar, podemos fatorar nos primeiros dois termos:

Passo 14

Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 15

Substituindo de volta:

Resposta

A derivada de é:
Ou, simplificando:

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Encontre a derivada para cada função abaixo:
(j)
Encontre a derivada para cada função abaixo:
(f)
Encontre a derivada para cada função abaixo:
(t)
Use o conceito de aproximação linear para encontrar valores aproximados para os números dados. Em cada caso, deixe claro qual é a função escolhida para a aproximação.
(b)