Encontre a derivada f'(x) para cada função abaixo:
(t) f(x) = log2(e^(-x) cos(pi x))

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de derivadas de funções logarítmicas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é o logaritmo na base 2 de outra função, que podemos chamar de , onde:
Para derivar , usamos a fórmula da derivada de logaritmos:
Aqui, é o logaritmo natural de 2, que aparece por causa da mudança de base do logaritmo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , a derivada de . Como é o produto de duas funções, e , usamos a regra do produto:
Calculando cada derivada:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da derivada de :
Podemos simplificar essa expressão cancelando o termo no numerador e no denominador:

Passo 5

Para simplificar ainda mais, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
Isso resulta em:
Fatorando :

Resposta

A derivada da função é:

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