Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos: f(x)=(sin x)^-4
2. Calcule (sin 0,15) e (sin 0,3), com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0, com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
  1. Encontrar a derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $
    Aqui vamos usar conceitos de derivação, especificamente a regra da cadeia.
  2. Calcular $ \sin 0,15 $ e $ \sin 0,3 $ em radianos usando a série de Taylor em torno de 0, com aproximações de:
    • (i) Primeira ordem
    • (ii) Terceira ordem
    • (iii) Comparar com os valores exatos
Vamos por partes para facilitar o entendimento!

Passo 2

Parte 1: Encontrar a derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $
Primeiro, precisamos lembrar das regras básicas de derivação. Aqui, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
f(x) = (sin x)^-4 = sin^-4 x
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos uma função composta $ f(g(x)) $, a derivada é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = ddx ( sin^-4 x )
Vamos considerar $ u = \sin x $, então $ f(u) = u^{-4} $.
A derivada de $ u^{-4} $ em relação a $ u $ é:
u = sin x
Agora, multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ x $:
f(u) = u^-4

Passo 5

Colocando tudo junto:
f'(x) = -4 (sin x)^-5 cdot cos x
Ou, de forma mais compacta:
f'(x) = -4 cos x(sin x)^5

Passo 6

Parte 2: Calcular $ \sin 0,15 $ e $ \sin 0,3 $ usando a série de Taylor
A série de Taylor para $ \sin x $ em torno de 0 é dada por:
sin 0,15
Para as aproximações, vamos considerar apenas os termos até a ordem desejada.

Passo 7

(i) Aproximação de primeira ordem
Isso significa que vamos considerar apenas o primeiro termo da série de Taylor:
sin x approx x
Então:
  • Para $ \sin 0,15 $:
    sin 0,15
  • Para $ \sin 0,3 $:
    sin 0,15 approx 0,15

Passo 8

(ii) Aproximação de terceira ordem
Aqui, vamos considerar os termos até $ x^3 $:
x^3
Vamos calcular para cada valor:
  • Para $ \sin 0,15 $:
    sin x approx x - x^36
    sin 0,15
    sin 0,15 approx 0,15 - (0,15)^36
    = 0,15 - 0,0033756
  • Para $ \sin 0,3 $:
    = 0,15 - 0,0005625
    = 0,1494375
    sin 0,3
    sin 0,3 approx 0,3 - (0,3)^36

Passo 9

(iii) Comparação com os resultados exatos
Vamos calcular os valores exatos usando uma calculadora:
  • $ \sin 0,15 \approx 0,149438 $
  • $ \sin 0,3 \approx 0,295520 $
Comparando:
  • Aproximação de primeira ordem:
    • $ \sin 0,15 \approx 0,15 $ vs. exato $ \approx 0,149438 $
    • $ \sin 0,3 \approx 0,3 $ vs. exato $ \approx 0,295520 $
  • Aproximação de terceira ordem:
    • $ \sin 0,15 \approx 0,1494375 $ vs. exato $ \approx 0,149438 $
    • $ \sin 0,3 \approx 0,2955 $ vs. exato $ \approx 0,295520 $
Vemos que a aproximação de terceira ordem está muito próxima dos valores exatos, enquanto a de primeira ordem é uma estimativa bem simples.

Resposta

A derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $ é:
f(x) = (sin x)^-4
Além disso, as aproximações de $ \sin 0,15 $ e $ \sin 0,3 $ são:
  • Primeira ordem:
    • $ \sin 0,15 \approx 0,15 $
    • $ \sin 0,3 \approx 0,3 $
  • Terceira ordem:
    • $ \sin 0,15 \approx 0,1494375 $
    • $ \sin 0,3 \approx 0,2955 $
Essas aproximações de terceira ordem estão muito próximas dos valores exatos.

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