Encontre a derivada de
nos seguintes casos:
2. Calcule
e
, com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0, com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.
2. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui:
-
Encontrar a derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $
Aqui vamos usar conceitos de derivação, especificamente a regra da cadeia. -
Calcular $ \sin 0,15 $ e $ \sin 0,3 $ em radianos usando a série de Taylor em torno de 0, com aproximações de:
- (i) Primeira ordem
- (ii) Terceira ordem
- (iii) Comparar com os valores exatos
Vamos por partes para facilitar o entendimento!
Passo 2
Parte 1: Encontrar a derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $
Primeiro, precisamos lembrar das regras básicas de derivação. Aqui, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas, como é o caso aqui.
Passo 3
Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos uma função composta $ f(g(x)) $, a derivada é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Vamos considerar $ u = \sin x $, então $ f(u) = u^{-4} $.
A derivada de $ u^{-4} $ em relação a $ u $ é:
Agora, multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 5
Colocando tudo junto:
Ou, de forma mais compacta:
Passo 6
Parte 2: Calcular $ \sin 0,15 $ e $ \sin 0,3 $ usando a série de Taylor
A série de Taylor para $ \sin x $ em torno de 0 é dada por:
Para as aproximações, vamos considerar apenas os termos até a ordem desejada.
Passo 7
(i) Aproximação de primeira ordem
Isso significa que vamos considerar apenas o primeiro termo da série de Taylor:
Então:
-
Para $ \sin 0,15 $:
-
Para $ \sin 0,3 $:
Passo 8
(ii) Aproximação de terceira ordem
Aqui, vamos considerar os termos até $ x^3 $:
Vamos calcular para cada valor:
-
Para $ \sin 0,15 $:
-
Para $ \sin 0,3 $:
Passo 9
(iii) Comparação com os resultados exatos
Vamos calcular os valores exatos usando uma calculadora:
- $ \sin 0,15 \approx 0,149438 $
- $ \sin 0,3 \approx 0,295520 $
Comparando:
-
Aproximação de primeira ordem:
- $ \sin 0,15 \approx 0,15 $ vs. exato $ \approx 0,149438 $
- $ \sin 0,3 \approx 0,3 $ vs. exato $ \approx 0,295520 $
-
Aproximação de terceira ordem:
- $ \sin 0,15 \approx 0,1494375 $ vs. exato $ \approx 0,149438 $
- $ \sin 0,3 \approx 0,2955 $ vs. exato $ \approx 0,295520 $
Vemos que a aproximação de terceira ordem está muito próxima dos valores exatos, enquanto a de primeira ordem é uma estimativa bem simples.
Resposta
A derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $ é:
Além disso, as aproximações de $ \sin 0,15 $ e $ \sin 0,3 $ são:
-
Primeira ordem:
- $ \sin 0,15 \approx 0,15 $
- $ \sin 0,3 \approx 0,3 $
-
Terceira ordem:
- $ \sin 0,15 \approx 0,1494375 $
- $ \sin 0,3 \approx 0,2955 $
Essas aproximações de terceira ordem estão muito próximas dos valores exatos.
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