Sejam dois vetores A=4 imath- 13 k e B=-5 imath+2 jmath-1 k. Calcule (ii) o produto vetorial entre esses vetores.
4. Seja um campo vetorial G dado por
G=2 x z^3 imath-12 x^2 sin y jmath-(x z^3+2 z cos y) k. Calcule o divergente e o rotacional desse campo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com cálculo vetorial, especificamente calculando o divergente e o rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar entender como aplicar as fórmulas de divergente e rotacional usando derivadas parciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial G. O divergente de um campo vetorial G = Gx imath + Gy jmath + Gz k é dado por:
nabla cdot G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z
Isso basicamente mede como o campo está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo G:
G = 2xz^3 imath - 12x^2 sin y jmath - (xz^3 + 2z cos y) k
Então:
  • Gx = 2xz^3
  • Gy = -12x^2 sin y
  • Gz = -(xz^3 + 2z cos y)
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Gxpartial x = partialpartial x(2xz^3) = 2z^3
  2. partial Gypartial y = partialpartial y(-12x^2 sin y) = -12x^2 cos y
  3. partial Gzpartial z = partialpartial z(-xz^3 - 2z cos y) = -3xz^2 - 2cos y
Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:
nabla cdot G = 2z^3 - 12x^2 cos y - 3xz^2 - 2cos y

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de G. O rotacional é dado por:
nabla times G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z ) imath + ( partial Gxpartial z - partial Gzpartial x ) jmath + ( partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) k
O rotacional nos mostra a “circularidade” ou a tendência de giro do campo vetorial em torno de um ponto.

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente imath:
    partial Gzpartial y = partialpartial y(-xz^3 - 2z cos y) = 2z sin y
    partial Gypartial z = partialpartial z(-12x^2 sin y) = 0
    Então:
    partial Gzpartial y - partial Gypartial z = 2z sin y - 0 = 2z sin y
  2. Componente jmath:
    partial Gxpartial z = partialpartial z(2xz^3) = 6xz^2
    partial Gzpartial x = partialpartial x(-xz^3 - 2z cos y) = -z^3
    Então:
    partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = 6xz^2 - (-z^3) = 6xz^2 + z^3
  3. Componente k:
    partial Gypartial x = partialpartial x(-12x^2 sin y) = -x sin y
    partial Gxpartial y = partialpartial y(2xz^3) = 0
    Então:
    partial Gypartial x - partial Gxpartial y = -x sin y - 0 = -x sin y
Agora, juntando tudo:
nabla times G = (2z sin y) imath + (6xz^2 + z^3) jmath + (-x sin y) k

Resposta

O divergente de G é:
nabla cdot G = 2z^3 - 12x^2 cos y - 3xz^2 - 2cos y
E o rotacional de G é:
nabla times G = 2z sin y , imath + (6xz^2 + z^3) jmath - x sin y , k

Exercícios relacionados

Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos: f(x)=(sin x)^-4
2. Calcule (sin 0,15) e (sin 0,3), com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0, com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.
Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos: f(x)=e^x^3 sin x.
Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos: f(x)=(x-1x^2)^7 / 2
Sejam dois vetores A=4 imath- 13 k e B=-5 imath+2 jmath-1 k. Calcule (i) o produto escalar entre esses vetores.