Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos: f(x)=e^x^3 sin x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = e{x{3} \sin x} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções exponenciais compostas, então vamos precisar usar a regra da cadeia. A ideia é entender como derivar uma função dentro de outra função, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função externa e a função interna na nossa composição:
  • Função externa: $ e^{u} $, onde $ u = x^{3} \sin x $
  • Função interna: $ u = x^{3} \sin x $
Para derivar $ f(x) = e^{u} $, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia:
f'(x) = ddx ( e^u ) = e^u cdot dudx
Agora, precisamos encontrar $ \frac{du}{dx} $, onde $ u = x^{3} \sin x $.

Passo 4

Para derivar $ u = x^{3} \sin x $, usamos a regra do produto, pois $ u $ é o produto de duas funções: $ x^{3} $ e $ \sin x $.
A regra do produto diz:
u = x^3 sin x
Onde $ v = x^{3} $ e $ w = \sin x $.

Passo 5

Calculando as derivadas individuais:
dvdx = ddx x^3 = 3x^2
dwdx = ddx sin x = cos x

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
dudx = x^3 cdot cos x + sin x cdot 3x^2 = x^3 cos x + 3x^2 sin x

Passo 7

Voltando à derivada da função original:
f'(x) = e^u cdot dudx = e^x^3 sin x cdot ( x^3 cos x + 3x^2 sin x )

Resposta

A derivada de $ f(x) = e{x{3} \sin x} $ é:
f(x) = e^x^3 sin x

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