Utilizando uma das três equações anteriores e os valores indicados para
e
, para determinar a intersecção do cone com cada um dos objetos a seguir:
Com plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
, no caso em que
e
Com plano que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a intersecção de um cone com um plano específico. Para isso, vamos usar os valores dados para
,
e
. O plano em questão passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do cone e do plano e ver onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação do plano. Um plano que passa por um ponto
e é perpendicular a um vetor
tem a equação:
No nosso caso, o ponto
e o vetor normal
, então substituindo na equação:
Simplificando:
Então, a equação do plano é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação do cone. Geralmente, a equação de um cone com vértice em
pode ser escrita como:
onde
é uma constante que depende da abertura do cone. No nosso caso, os valores dados são
,
, e
. Então, a equação do cone fica:
Como não fomos dados o valor de
, vamos supor que
para simplificar, então:
Passo 4
Para encontrar a intersecção do cone com o plano
, vamos substituir
na equação do cone:
Isso nos dá a relação entre
e
na intersecção.
Passo 5
Agora, podemos reescrever a equação
para expressar
em função de
:
Isso significa que a intersecção entre o cone e o plano
é uma curva que forma duas “raízes” para cada
, acima e abaixo do plano.
Resposta
A intersecção do cone com o plano
é a curva definida por
e
.