Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta normal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Depois, vamos usar essa inclinação para montar a equação da reta. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a , ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais comum, que é :

Passo 6

Agora, além da reta tangente, o exercício pede para fazer um esboço com a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então:
E usando o mesmo ponto , a equação da reta normal fica:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:
Além disso, a reta normal à curva nesse ponto tem a equação:

Exercícios relacionados

Sejam e a função dada por
Analise cada uma das afirmações abaixo, diga se são verdadeiras ou falsas e justifique:
a) é injetiva
b) é sobrejetiva.
c) , para todo .
d) , para todo .
Encontre a derivada da função dada.
(e)
Resolva as equações transformando-as em equações diferenciais separáveis através das seguintes substituições:
após resolver na variável retorne para as variáveis originais.
Obtenha uma equação geral do plano que contém forma um ângulo com o plano .