Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta normal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Depois, vamos usar essa inclinação para montar a equação da reta. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a
, ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais comum, que é
:
Passo 6
Agora, além da reta tangente, o exercício pede para fazer um esboço com a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então:
E usando o mesmo ponto
, a equação da reta normal fica:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
Além disso, a reta normal à curva nesse ponto tem a equação: