a) Encontre
derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando
e derive para obter
em termos de
.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
na solução para a parte (a).
I)
;
b) Resolva a equação explicitamente isolando
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
I)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação envolvendo
e
:
. O conteúdo aqui é derivação implícita e derivação explícita de funções. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do produto e como isolar uma variável para derivar de forma explícita.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar
usando derivação implícita. A derivação implícita é usada quando
está misturado com
e não está isolado. A gente vai diferenciar cada termo da equação em relação a
:
Para o termo
, usamos a regra do produto:
Derivando os outros termos:
E a derivada de uma constante é zero:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Primeiro, colocamos todos os termos sem
do outro lado:
E dividimos por
:
Passo 4
Parte b): resolver a equação explicitamente para
e então derivar para obter
em termos de
. Vamos isolar
na equação original:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Derivando cada termo:
Então:
Passo 5
Parte c): vamos verificar se as soluções das partes a) e b) são consistentes. Na parte a), encontramos:
Da parte b), sabemos que:
Vamos substituir esse
na expressão de a):
Simplificando:
Que é exatamente o que encontramos na parte b). Então, as soluções são consistentes!
Resposta
As soluções para as partes a) e b) são consistentes e ambas resultam em:
Exercícios relacionados
Suponha que uma soma de dinheiro é depositada em um fundo de banco que paga juros à taxa anual
. O valor
, do investimento em qualquer tempo
depende da frequência com que o interesse é agravado tão bem como a taxa de juros. As instituições financeiras têm várias políticas relativas à composição: alguns compostos mensalmente, alguns semanal, alguns até diariamente. Se assumirmos que a composição é realizada continuamente, então podemos criar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros vezes o valor atual do investimento
. Assim, a
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros
é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que nós também sabemos o valor do investimento em um determinado tempo, digamos,
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio na conta em qualquer tempo
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
d) ;
d)
Lei de Resfriamento de Newton
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
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temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
Onde:
T: temperatura do corpo no instante
: temperatura constante do ambiente
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
T: temperatura do corpo no instante
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Problema 1
Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante
. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é
. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é
. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado
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. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?
Problema 2
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de
e a temperatura do corpo cai, em 20 minutos de
a
, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para
?
Segundo o economista clássico Malthus,
Onde a taxa
é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade (
) e a Mortalidade (
) e é dada por
- m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão
onde
é a população inicial no instante
, ou seja:
. Portanto, conclui-se que:
- Se
, a população cresce. - Se
, a população se reduzirá.
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