Encontre a derivada d/y d/x para a função derivável y = f(x) que satisfaz cada uma das seguintes equações: x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar a derivada . A gente tem a função que satisfaz a equação . Aqui, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é quando a função está definida de forma que depende de pela relação dada, mas não está explicitamente isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo da equação.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo individualmente. Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então .
Para o termo , usamos a regra do poder:
Para o termo , como é uma função de , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação original, temos:

Passo 5

Vamos isolar . Primeiro, subtraímos de ambos os lados:

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por para resolver :

Passo 7

Simplificando as potências negativas, temos:

Resposta

A derivada é igual a .

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