Encontre as derivads parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está dentro do tema de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é
. Aqui, temos um produto entre
e
. Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, identificamos:
-
e -
e precisamos encontrar
Para
, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
. Aqui,
, cuja derivada em relação a
é
.
Então,
.
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função continua sendo
. Novamente, temos um produto entre
e
. Aplicamos a regra do produto:
-
e (já que é constante) -
e precisamos encontrar
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
. Aqui,
, cuja derivada em relação a
é
.
Então,
.
Aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e