Encontre as derivads parciais. z = x e^(x y - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso está dentro do tema de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que denotamos por . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é . Aqui, temos um produto entre e . Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, identificamos:
  • e
  • e precisamos encontrar
Para , aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , cuja derivada em relação a é .
Então, .
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , . Aqui, tratamos como uma constante.
A função continua sendo . Novamente, temos um produto entre e . Aplicamos a regra do produto:
  • e (já que é constante)
  • e precisamos encontrar
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , cuja derivada em relação a é .
Então, .
Aplicando a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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