Encontre a derivada da função. f(t) = sen^2(e^(sen^2(t)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Temos uma função composta de três partes:
  1. (a variável independente)
  2. (primeira camada)
  3. (segunda camada)
  4. (função externa)
Vamos derivar de dentro para fora, começando pela parte interna.

Passo 3

Começando com . Para derivar em relação a , usamos a regra do poder e a regra da cadeia novamente:
Aqui, utilizamos a identidade trigonométrica .

Passo 4

Agora, consideramos . A derivada de em relação a é:
Usamos novamente a regra da cadeia para derivar uma função exponencial composta.

Passo 5

Finalmente, temos . A derivada de em relação a é:
Aqui, aplicamos a regra do poder novamente para a função seno ao quadrado e multiplicamos pela derivada de que encontramos no passo anterior.

Resposta

A derivada da função é:

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