QUESTÃO 02(2,0pts) - Encontre a função
que cumpre as condiçōes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo que pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como separar variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial
de uma forma que facilite a resolução. Podemos dividir ambos os lados por
para isolar
em termos de
:
Passo 3
Agora, percebemos que a equação está separada, ou seja, conseguimos colocar todos os termos de
de um lado e todos os termos de
do outro. Isso nos permite integrar ambos os lados:
Passo 4
Vamos fazer as integrações. A integral de
é
, e a integral de
é
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la para
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada é: