QUESTÃO 02(2,0pts) - Encontre a função y = y(x) que cumpre as condiçōes:
d/y = x^2 y com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo que pede para encontrar a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como separar variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a resolução. Podemos dividir ambos os lados por para isolar em termos de :

Passo 3

Agora, percebemos que a equação está separada, ou seja, conseguimos colocar todos os termos de de um lado e todos os termos de do outro. Isso nos permite integrar ambos os lados:

Passo 4

Vamos fazer as integrações. A integral de é , e a integral de é . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la para :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada é:

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