Encontre a derivada da função.
f(t) = sen(e^(x^2 t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar essas composições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos:
  • A função externa: , onde .
  • A função interna: .
A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa em relação a .
Sabemos que . Isso vem da regra do poder junto com a derivada do seno.
Então, .

Passo 4

Agora, derivamos a função interna em relação a .
A derivada de em relação a é , onde é uma constante. Aqui, .
Então, .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Substituindo e :

Passo 6

Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A derivada da função é:

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