Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Aqui estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar essas composições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos:
- A função externa:
, onde . - A função interna:
.
A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos começar derivando a função externa
em relação a
.
Sabemos que
. Isso vem da regra do poder junto com a derivada do seno.
Então,
.
Passo 4
Agora, derivamos a função interna
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma constante. Aqui,
.
Então,
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Substituindo
e
:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
A derivada da função é: