Encontre a derivada da função.

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Esse exercício faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre a derivada de funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções seno e tangente.

Passo 2

Primeiro, identifique as partes da função composta. Aqui, temos uma função externa onde . A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a . Sabemos que:
Portanto, a derivada da parte externa é .

Passo 4

Agora, derivamos a função interna em relação a . Para isso, usamos a derivada da tangente:
Aqui, , então:
Portanto:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia, multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Resposta

A derivada da função é:

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