Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas como o cosseno e o cosseno hiperbólico. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: . Isso significa que estamos elevando a cotangente de ao quadrado. Para derivar essa função, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra.

Passo 3

A regra da cadeia diz que, se temos uma função composta , então a derivada de em relação a é:
No nosso caso, podemos pensar em e .

Passo 4

Vamos primeiro derivar em relação a :
Sabemos que a derivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas que encontramos:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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