Encontre a derivada da função

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão é encontrar a derivada da função . Estamos lidando com uma função exponencial bem complicada, com potências empilhadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar funções exponenciais onde o expoente também é uma função.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a derivação, vamos usar o logaritmo natural. Isso porque quando temos uma função exponencial onde o expoente é uma função complicada, o logaritmo ajuda a simplificar as coisas. Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar a expressão:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então vamos usar a regra da cadeia na derivação do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos focar na derivada . Novamente, temos uma função exponencial com um expoente que é outra função. Vamos aplicar a mesma técnica de logaritmo natural:

Passo 6

A derivada de em relação a é:

Passo 7

Agora, substituímos essa derivada de volta na equação anterior:

Passo 8

Voltando à equação onde tínhamos , substituímos a expressão que acabamos de encontrar:

Passo 9

Finalmente, para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , então podemos substituir de volta se quisermos deixar a expressão completa em termos de .

Resposta

A derivada da função é

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Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(a)
Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L(a)