Encontre a derivada da função
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão é encontrar a derivada da função
. Estamos lidando com uma função exponencial bem complicada, com potências empilhadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar funções exponenciais onde o expoente também é uma função.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a derivação, vamos usar o logaritmo natural. Isso porque quando temos uma função exponencial onde o expoente é uma função complicada, o logaritmo ajuda a simplificar as coisas. Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar a expressão:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então vamos usar a regra da cadeia na derivação do lado esquerdo:
Passo 5
Agora, vamos focar na derivada
. Novamente, temos uma função exponencial com um expoente que é outra função. Vamos aplicar a mesma técnica de logaritmo natural:
Passo 6
A derivada de
em relação a
é:
Passo 7
Agora, substituímos essa derivada de volta na equação anterior:
Passo 8
Voltando à equação onde tínhamos
, substituímos a expressão que acabamos de encontrar:
Passo 9
Finalmente, para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, então podemos substituir de volta se quisermos deixar a expressão completa em termos de
.
Resposta
A derivada da função é
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(a)
(a)
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