Encontre y' e y''.
y = cos(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa encontrar a primeira derivada e a segunda derivada da função . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função que temos é , onde . A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a .
Então, vamos derivar:
Sabemos que e . Substituindo esses valores:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar novamente em relação a . A derivada de envolve usar a Regra do Produto, já que temos um produto de duas funções: e .
A Regra do Produto diz que:
Aplicando isso:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de é (usando a Regra da Cadeia novamente).
Então:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

Exercícios relacionados

Derive:
g(x) = raiz(x + raiz(x + raiz(x)))
Derive:
f(x) = tg(sen(x))
Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
r(x) = 3/2 x^2 - x + 5/2.
Encontre a derivada da função f(x) = x^2 + raiz(x) pela definição.