Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
r(x) = 3/2 x^2 - x + 5/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada, que envolve limites. Além disso, vamos descobrir quais são os domínios dessa função e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada pela definição. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Isso basicamente nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Distribuindo o :

Passo 4

Agora, vamos subtrair de :
Simplificando:

Passo 5

Dividimos essa diferença por :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada da função é .
Domínio da função : Todos os números reais, ou seja, .
Domínio da derivada : Também todos os números reais, .

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Encontre y' e y''.
y = cos(x^2).
Derive:
g(x) = raiz(x + raiz(x + raiz(x)))
Encontre a derivada da função f(x) = x^2 + raiz(x) pela definição.
Derive:
f(x) = e