Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada, que envolve limites. Além disso, vamos descobrir quais são os domínios dessa função e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada pela definição. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso basicamente nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
Distribuindo o
:
Passo 4
Agora, vamos subtrair
de
:
Simplificando:
Passo 5
Dividimos essa diferença por
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada da função é
.
Domínio da função
: Todos os números reais, ou seja,
.
Domínio da derivada
: Também todos os números reais,
.
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
.
Derive:
Encontre a derivada da função
pela definição.
Derive: