Encontre a derivada da função.
F(x)=integralraizx^2 x arctg t d t

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a derivada da função . Isso envolve calcular a derivada de uma integral onde os limites de integração são funções de . Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que se temos uma função definida como uma integral com limites que dependem de F(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt , ou seja:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Então, a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a gente avalia a função nos limites superior e inferior, multiplica pelas derivadas desses limites e faz a subtração.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função conforme a regra:
  • Função dentro da integral:
  • Limite inferior: , então a derivada
  • Limite superior: , então a derivada

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz com os valores que encontramos:
F'(x) = arctan(2x) cdot 2 - arctan(raizx) cdot 12raizx

Resposta

A derivada da função F'(x) = 2 cdot arctan(2x) - , arctan(raizx),,2raizx, é:

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