Obtenha r'(t). r(t) = 4i - cos(t) j

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a derivada da função vetorial r(t), que está definida como . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde aprendemos a derivar funções vetoriais em relação a um parâmetro, nesse caso, t. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções escalares em relação a t e como aplicar isso a cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como tem suas componentes escalares separadas. Isso significa que a derivada da função vetorial será a derivada de cada componente individualmente. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes da nossa função r(t). Temos:
  • A componente na direção de i é constante:
  • A componente na direção de j é

Passo 4

Vamos derivar cada componente em relação a t:
  • Derivada de x(t): Como , que é uma constante, sua derivada é zero:
  • Derivada de y(t): Temos , então a derivada é:
(Lembre-se que a derivada de é porque a derivada de cos(t) é )

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas das componentes na expressão da derivada da função vetorial:
Simplificando, ficamos com:

Resposta

A derivada da função vetorial é .

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