Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de quinta ordem:
O conteúdo que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a equação característica e resolver para encontrar as raízes que nos darão a solução geral.
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica usando a substituição
, onde
é uma constante. Derivando
várias vezes e substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação característica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores do termo constante (-2) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, as possíveis raízes são
.
Passo 4
Testando
:
Testando
:
Então,
é uma raiz.
Passo 5
Agora que sabemos que
é uma raiz, vamos realizar a divisão polinomial para fatorar
da equação característica:
Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos
. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
, o que significa
e, portanto,
ou
.
Passo 7
Assim, as raízes da equação característica são:
Como estamos lidando com uma equação de quinta ordem, a raiz
tem multiplicidade 1, e
e
cada uma tem multiplicidade 2.
Passo 8
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real
, temos um termo
. Para raízes complexas
, temos termos da forma
.
No nosso caso:
- Para
: - Para
e : e
Como
e
têm multiplicidade 2, multiplicamos por
.
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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.
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