Resolva as equações diferenciais de ordem superior:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de quinta ordem:
O conteúdo que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a equação característica e resolver para encontrar as raízes que nos darão a solução geral.

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica usando a substituição , onde é uma constante. Derivando várias vezes e substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação característica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores do termo constante (-2) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, as possíveis raízes são .

Passo 4

Testando :
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 5

Agora que sabemos que é uma raiz, vamos realizar a divisão polinomial para fatorar da equação característica:
Então, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos . Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, , o que significa e, portanto, ou .

Passo 7

Assim, as raízes da equação característica são:
Como estamos lidando com uma equação de quinta ordem, a raiz tem multiplicidade 1, e e cada uma tem multiplicidade 2.

Passo 8

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real , temos um termo . Para raízes complexas , temos termos da forma .
No nosso caso:
  • Para :
  • Para e : e
Como e têm multiplicidade 2, multiplicamos por .

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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