Encontre uma função
e um número
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma função
e um número
que satisfaçam a equação:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e funções. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e integrais, especialmente a Regra Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação está nos dizendo. Temos uma função
dentro de uma integral que, ao somar com 6, dá
. Para encontrar
e
, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso vai simplificar a integral.
Passo 3
A derivada de ambos os lados em relação a
:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada da integral com limite superior
é simplesmente a função dentro da integral avaliada em
, multiplicada pela derivada do limite superior (que é 1). Então:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Então, encontramos que:
Passo 6
Agora que temos
, precisamos encontrar o valor de
. Voltando à equação original:
Simplificando a integral:
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos isolar os termos constantes:
Resolvendo para
:
Resposta
A função é
e o número é
.