Encontre uma função f e um número a tais que
6+integrala^x f(t)t d t=2 raizx para todo x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma função 6 + integrala^x f(t)t , dt = 2 raizx para todo x > 0 e um número que satisfaçam a equação:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e funções. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e integrais, especialmente a Regra Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação está nos dizendo. Temos uma função dentro de uma integral que, ao somar com 6, dá . Para encontrar e , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso vai simplificar a integral.

Passo 3

A derivada de ambos os lados em relação a ddx [ 6 + integrala^x f(t)t , dt ] = ddx [ 2 raizx ] :
f(x)x = ddx [ 2 raizx ]
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada da integral com limite superior é simplesmente a função dentro da integral avaliada em , multiplicada pela derivada do limite superior (que é 1). Então:

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado direito:
ddx [ 2 raizx ] = 2 cdot 12 x^-1/2 = x^-1/2 = 1raizx
Então, temos:
f(x)x = 1raizx

Passo 5

Agora, vamos resolver para f(x) = x cdot 1raizx = raizx :
f(x) = raizx
Então, encontramos que:

Passo 6

Agora que temos 6 + integrala^x raiztt , dt = 2 raizx , precisamos encontrar o valor de raiztt = 1raizt . Voltando à equação original:
6 + integrala^x 1raizt , dt = 2 raizx
Simplificando a integral:
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral 1raizt , dt = 2 raizt + C
Aplicando os limites de integração:
6 + [ 2 raizx - 2 raiza ] = 2 raizx
Simplificando:
6 + 2 raizx - 2 raiza = 2 raizx

Passo 8

Agora, vamos isolar os termos constantes:
6 - 2 raiza = 0
Resolvendo para 6 = 2 raiza raiza = 3 a = 9 :

Resposta

A função é e o número é .

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