Encontre a derivada da função
f(x) = sen(4 cos(4 sen(4 cos(4 x))))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, ou seja, funções dentro de funções. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função. Pense na função como várias camadas de cebola:
  1. A camada mais interna é .
  2. Depois temos .
  3. Em seguida, .
  4. Depois, .
  5. Em seguida, .
  6. Depois, .
  7. Finalmente, .
Cada uma dessas camadas será derivada passo a passo usando a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar derivando a camada mais interna. A derivada de em relação a é simplesmente:

Passo 4

Agora, derivamos . Lembre-se que a derivada de é . Então:

Passo 5

Em seguida, derivamos . Como é uma constante multiplicando a derivada anterior:

Passo 6

Agora, vamos derivar . A derivada de é . Então:

Passo 7

Seguimos para . Multiplicando a derivada anterior por 4:

Passo 8

Agora, derivamos . A derivada de é :
Simplificando os sinais:

Passo 9

Finalmente, derivamos a função inteira . A derivada de é :

Resposta

A derivada da função é:

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