Encontre a derivada da função
f(x) = e^x / (2 x^2 + x + 1)

Passo 1

No enunciado, precisamos encontrar a derivada da função . Vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente, que é útil para derivar funções que são o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que formam o quociente. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função , a derivada dela é dada por:

Passo 4

Vamos derivar cada uma das funções e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo , , e na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador fatorando :
Simplificando dentro das chaves:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Finalmente, podemos escrever a derivada de forma mais compacta:

Resposta

A derivada da função é:

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