Resolva as EDO25) $(2ysenx

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Então, vamos precisar identificar as partes da equação e seguir os passos certinhos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação que você me deu é:
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e verificamos se elas são iguais.
Fazendo as derivadas, se encontrarmos que , então a equação é exata.

Passo 4

Após calcular, constatamos que . Isso significa que a equação é realmente exata. Ou seja, existe uma função cuja derivada total dá essa equação diferencial.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar a solução encontrando a função tal que:
Começamos integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Integrando em relação a :
Após realizar a integração (que envolve técnicas de cálculo integral), obtemos:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Fazendo as derivadas e igualando, encontramos a função :
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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