Resolva as EDO25) $(2ysenx
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Então, vamos precisar identificar as partes da equação e seguir os passos certinhos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação que você me deu é:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e verificamos se elas são iguais.
Fazendo as derivadas, se encontrarmos que
, então a equação é exata.
Passo 4
Após calcular, constatamos que
. Isso significa que a equação é realmente exata. Ou seja, existe uma função
cuja derivada total dá essa equação diferencial.
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar a solução encontrando a função
tal que:
Começamos integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Após realizar a integração (que envolve técnicas de cálculo integral), obtemos:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Fazendo as derivadas e igualando, encontramos a função
:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Resolva as EDO18)
Encontre a derivada da função. $g(x)=\int_{1-2 x}^{1+2 x} t \operatorname{sen} t d t
Resolva as EDO22)
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
g) r=2 c_{1} \cos \theta
g) r=2 c_{1} \cos \theta