Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
arctan(x-y) + x*y = x - y

Passo 1

Vamos resolver a derivada de uma função implícita definida pela equação . Aqui, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar quando y está definida de forma indireta em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então ao derivar termos que envolvem y, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de x y usa a regra do produto: .
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
.

Passo 4

Derivando o lado direito:
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada de -y é .
Então, a derivada do lado direito fica:
.

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
.

Passo 6

Vamos isolar . Primeiro, distribuímos o termo:
.

Passo 7

Agrupamos os termos que contêm :
.

Passo 8

Movemos todos os termos com para um lado e os demais para o outro:
.

Passo 9

Isolamos dividindo ambos os lados pelo coeficiente:
.

Resposta

A derivada da função implícita é:

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