Para as funções dadas a seguir, pede-se:
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os correspondentes à conclusão do teorema.
, no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos a função definida no intervalo . Nosso objetivo é aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender o que o TVM diz e verificar se a função atende às condições necessárias para aplicá-lo. Depois, vamos encontrar o ponto onde o teorema garante que a inclinação da tangente é igual à inclinação da secante no intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função é igual à inclinação da linha secante que passa pelos pontos e . Ou seja:
Então, para aplicar o TVM, precisamos verificar se nossa função atende a essas condições.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade e a diferenciabilidade da função :
  1. Continuidade: Funções polinomiais são contínuas em todo lugar. Então, é contínua no intervalo .
  2. Diferenciabilidade: Novamente, funções polinomiais são diferenciáveis em todo lugar. Portanto, é diferenciável no intervalo .
Como ambas as condições estão satisfeitas, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio.

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da linha secante que passa pelos pontos e :
Primeiro, encontramos e :
Agora, a inclinação da secante é:
Então, a inclinação da secante é 0.

Passo 5

De acordo com o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função é igual a essa inclinação da secante, ou seja:
Vamos encontrar a derivada de :

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação :
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Agora, verificamos quais desses valores estão dentro do intervalo :
  • está dentro do intervalo.
  • e estão fora do intervalo .
Portanto, o único valor que nos interessa é .

Resposta

O ponto que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função no intervalo é .

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