Para as funções dadas a seguir, pede-se:
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os
correspondentes à conclusão do teorema.
, no intervalo
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos a função
definida no intervalo
. Nosso objetivo é aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender o que o TVM diz e verificar se a função atende às condições necessárias para aplicá-lo. Depois, vamos encontrar o ponto
onde o teorema garante que a inclinação da tangente é igual à inclinação da secante no intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada da função é igual à inclinação da linha secante que passa pelos pontos
e
. Ou seja:
Então, para aplicar o TVM, precisamos verificar se nossa função atende a essas condições.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade e a diferenciabilidade da função
:
-
Continuidade: Funções polinomiais são contínuas em todo lugar. Então,
é contínua no intervalo . -
Diferenciabilidade: Novamente, funções polinomiais são diferenciáveis em todo lugar. Portanto,
é diferenciável no intervalo .
Como ambas as condições estão satisfeitas, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio.
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação da linha secante que passa pelos pontos
e
:
Primeiro, encontramos
e
:
Agora, a inclinação da secante é:
Então, a inclinação da secante é 0.
Passo 5
De acordo com o Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada da função é igual a essa inclinação da secante, ou seja:
Vamos encontrar a derivada de
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação
:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 7
Agora, verificamos quais desses valores estão dentro do intervalo
:
-
está dentro do intervalo. -
e estão fora do intervalo .
Portanto, o único valor que nos interessa é
.
Resposta
O ponto
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
é
.
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