Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
ln(x y) = x e^y

Passo 1

Então, a gente tem esse exercício onde precisamos encontrar a derivada da função implícita definida pela equação . Isso entra no conteúdo de Derivadas Implícitas, onde a gente aprende a derivar equações onde y está misturado com x de forma que não dá pra isolar facilmente y. Pra resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto na derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar os dois lados da equação em relação a x. Lembrando que y é uma função de x, então quando derivamos termos que têm y, precisamos multiplicar pela derivada de y, ou seja, .

Passo 3

Vamos começar derivando o lado esquerdo, . Usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Aqui, , então a derivada fica:

Passo 4

Agora, derivamos xy usando a regra do produto: a derivada de é . Aqui, e , então:

Passo 5

Substituímos essa derivada de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, derivamos o lado direito da equação original, . Usamos a regra do produto novamente:

Passo 7

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 8

Vamos resolver para . Primeiro, vamos juntar os termos que têm de um lado e os outros termos do outro:

Passo 9

Fatoramos :

Passo 10

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela :

Resposta

A derivada da função implícita é:

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