Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Passo 1
Então, a gente tem esse exercício onde precisamos encontrar a derivada da função implícita definida pela equação
. Isso entra no conteúdo de Derivadas Implícitas, onde a gente aprende a derivar equações onde y está misturado com x de forma que não dá pra isolar facilmente y. Pra resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto na derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar os dois lados da equação em relação a x. Lembrando que y é uma função de x, então quando derivamos termos que têm y, precisamos multiplicar pela derivada de y, ou seja,
.
Passo 3
Vamos começar derivando o lado esquerdo,
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui,
, então a derivada fica:
Passo 4
Agora, derivamos
usando a regra do produto: a derivada de
é
. Aqui,
e
, então:
Passo 5
Substituímos essa derivada de volta na expressão anterior:
Passo 6
Agora, derivamos o lado direito da equação original,
. Usamos a regra do produto novamente:
Passo 7
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 8
Vamos resolver para
. Primeiro, vamos juntar os termos que têm
de um lado e os outros termos do outro:
Passo 9
Fatoramos
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela
:
Resposta
A derivada da função implícita é: