Esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x) = x^3 - 3x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso cai na matéria de Funções Polinomiais. Para resolver, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptos, máximos e mínimos, além de entender o comportamento da função quando vai para ou .

Passo 2

Primeiro, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde ela cruza os eixos e .
  • Intercepto no eixo : É onde .
    Então, o intercepto no é .
  • Interceptos no eixo : São onde .
    Então, os interceptos no são , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função. Para isso, precisamos calcular a derivada de e encontrar onde ela é zero ou não existe.
A derivada de é:
Vamos igualar a derivada a zero:
Então, temos potenciais pontos de máximo ou mínimo em e .

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
A segunda derivada de é:
Avaliamo em e :
  • Para : í
  • Para : á
Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo na função original:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função quando vai para e .
  • Quando :
  • Quando :
Isso nos mostra que a função cresce sem limites positivamente e negativamente nas extremidades.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plotamos os interceptos em , e .
  2. Marcamos os pontos de máximo e mínimo em e .
  3. Desenhamos a curva passando por esses pontos, lembrando que a função sobe para e desce para .

Resposta

O gráfico da função possui interceptos em , e , um ponto de máximo em , um ponto de mínimo em , e apresenta crescimento para e decrescimento para . Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta uma curva em formato de “S” atravessando esses pontos-chave.

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