Esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
. Isso cai na matéria de Funções Polinomiais. Para resolver, vamos precisar encontrar pontos importantes como interceptos, máximos e mínimos, além de entender o comportamento da função quando
vai para
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde ela cruza os eixos
e
.
-
Intercepto no eixo
: É onde . Então, o intercepto noé . -
Interceptos no eixo
: São onde . Então, os interceptos nosão , e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da função. Para isso, precisamos calcular a derivada de
e encontrar onde ela é zero ou não existe.
A derivada de
é:
Vamos igualar a derivada a zero:
Então, temos potenciais pontos de máximo ou mínimo em
e
.
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
A segunda derivada de
é:
Avaliamo em
e
:
- Para
: - Para
:
Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo
na função original:
- Para
: - Para
:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função quando
vai para
e
.
- Quando
: - Quando
:
Isso nos mostra que a função cresce sem limites positivamente e negativamente nas extremidades.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Plotamos os interceptos em
, e . - Marcamos os pontos de máximo e mínimo em
e . - Desenhamos a curva passando por esses pontos, lembrando que a função sobe para
e desce para .
Resposta
O gráfico da função
possui interceptos em
,
e
, um ponto de máximo em
, um ponto de mínimo em
, e apresenta crescimento para
e decrescimento para
. Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta uma curva em formato de “S” atravessando esses pontos-chave.