Obtenha a equação da reta tangente:
À curva
, no ponto
À curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que é uma parte da matemática que estuda como as coisas mudam.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva em relação a
. A equação da curva é
. Para derivar isso, vamos usar a derivação implícita, que é usada quando
está misturado com
.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação com relação a
:
Isso fica:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a expressão para a derivada da curva, que representa a inclinação da reta tangente.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada no ponto dado
:
Simplificando as potências:
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 6
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente é:
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<span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.976ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 8387.6 1083.9”><title>ln(x+y) = x^2 + y^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“6C” d=“M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z”></path><path data-c=“6E” d=“M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Esboce o gráfico das funções a seguir:<br>
<span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.387ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5475 1000”><title>ln(x y) = x e^y</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“6C” d=“M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z”></path><path data-c=“6E” d=“M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 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