Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
raiz(cos(x * y)) + arcotangente(raiz(y)) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que relaciona e de forma implícita:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde está embutido em uma expressão com .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação com respeito a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivarmos termos que contêm , precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos começar com o primeiro termo: .
A derivada de é . Aqui, .
Então,
Agora, derivamos . A derivada de é , onde .
Então,
E derivando :
Portanto,
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo: .
A derivada de é . Aqui, .
Então,
Simplificando , e a derivada de é .
Portanto,

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos dois termos e lembrando que a derivada do lado direito da equação (que é zero) é zero:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Multiplicando tudo por para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:

Passo 6

Vamos isolar os termos que contêm :
Rearranjando:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -1:

Resposta

A derivada da função implícita é:

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