Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que relaciona
e
de forma implícita:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde
está embutido em uma expressão com
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação com respeito a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivarmos termos que contêm
, precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos começar com o primeiro termo:
.
A derivada de
é
. Aqui,
.
Então,
Agora, derivamos
. A derivada de
é
, onde
.
Então,
E derivando
:
Portanto,
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos derivar o segundo termo:
.
A derivada de
é
. Aqui,
.
Então,
Simplificando
, e a derivada de
é
.
Portanto,
Passo 4
Agora, juntando as derivadas dos dois termos e lembrando que a derivada do lado direito da equação (que é zero) é zero:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos isolar os termos que contêm
:
Rearranjando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -1:
Resposta
A derivada da função implícita é: