Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função implícita definida pela equação . Isso significa que é uma função de , mesmo que não estejamos resolvendo em termos de diretamente. Para resolver isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que permite encontrar quando as funções estão misturadas dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao diferenciar um termo que envolve , que é função de , precisamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a lidar com a derivada de uma função composta.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo :
Aqui, usamos a derivada da função logarítmica, que é , onde .

Passo 4

Agora, calculamos :
Então, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 5

Vamos diferenciar o lado direito :
Aqui, usamos a regra da potência para e novamente a regra da cadeia para .

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar .

Passo 7

Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 8

Distribuímos o termo do lado direito:

Passo 9

Vamos coletar todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:

Passo 10

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Resposta

A derivada da função implícita é:

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