Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função implícita definida pela equação
. Isso significa que
é uma função de
, mesmo que não estejamos resolvendo
em termos de
diretamente. Para resolver isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que permite encontrar
quando as funções estão misturadas dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao diferenciar um termo que envolve
, que é função de
, precisamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a lidar com a derivada de uma função composta.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo
:
Aqui, usamos a derivada da função logarítmica, que é
, onde
.
Passo 4
Agora, calculamos
:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 5
Vamos diferenciar o lado direito
:
Aqui, usamos a regra da potência para
e novamente a regra da cadeia para
.
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 7
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Distribuímos o termo do lado direito:
Passo 9
Vamos coletar todos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 10
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Resposta
A derivada da função implícita é:
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Determine a derivada de cada função a seguir.
Esboce o gráfico das funções a seguir:
Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Obtenha a equação da reta tangente:
À curva , no ponto
À curva