Esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Esse tipo de função é uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, a gente vai precisar identificar algumas coisas importantes: domínio, interceptos, assíntotas (verticais e horizontais), e o comportamento da função para valores grandes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver a equação
:
Portanto, o domínio é todos os reais exceto
e
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função corta o eixo
e o eixo
.
Para o intercepto com o eixo
, a gente calcula
:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Para os interceptos com o eixo
, a gente resolve
:
Mas
não tem solução real, porque
nunca é negativo. Então, a função não corta o eixo
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero (desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto).
Já vimos que
e
fazem o denominador ser zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Isso é obtido analisando o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Observando os graus dos polinômios no numerador e denominador:
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, os coeficientes são ambos 1, então:
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e para grandes valores de
.
-
Para
próximo de 1: - A função tende a
ou dependendo do lado de onde você se aproxima.
- A função tende a
-
Para
próximo de -1: - Similarmente, a função tende a
ou dependendo do lado.
- Similarmente, a função tende a
-
Para
muito grande ou muito pequeno: - A função se aproxima da assíntota horizontal
.
- A função se aproxima da assíntota horizontal
Resposta
Com base nos passos acima, o gráfico da função
apresenta:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Intercepto com o eixo
em . - A função não corta o eixo
.
O comportamento próximo às assíntotas e para valores grandes de
segue conforme descrito nos passos anteriores. Com essas informações, você consegue esboçar o gráfico baseado nas assíntotas, intercepto e comportamento da função.
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