Esboce o gráfico das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Esse tipo de função é uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, a gente vai precisar identificar algumas coisas importantes: domínio, interceptos, assíntotas (verticais e horizontais), e o comportamento da função para valores grandes de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver a equação :
Portanto, o domínio é todos os reais exceto e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função corta o eixo e o eixo .
Para o intercepto com o eixo , a gente calcula :
Então, o intercepto com o eixo é .
Para os interceptos com o eixo , a gente resolve :
Mas não tem solução real, porque nunca é negativo. Então, a função não corta o eixo .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero (desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto).
Já vimos que e fazem o denominador ser zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Isso é obtido analisando o comportamento da função quando tende ao infinito.
Observando os graus dos polinômios no numerador e denominador:
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, os coeficientes são ambos 1, então:
í

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e para grandes valores de .
  • Para próximo de 1:
    • A função tende a ou dependendo do lado de onde você se aproxima.
  • Para próximo de -1:
    • Similarmente, a função tende a ou dependendo do lado.
  • Para muito grande ou muito pequeno:
    • A função se aproxima da assíntota horizontal .

Resposta

Com base nos passos acima, o gráfico da função apresenta:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • Intercepto com o eixo em .
  • A função não corta o eixo .
O comportamento próximo às assíntotas e para valores grandes de segue conforme descrito nos passos anteriores. Com essas informações, você consegue esboçar o gráfico baseado nas assíntotas, intercepto e comportamento da função.

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