Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:

Passo 1

Vamos resolver a derivada de uma função implícita definida pela equação . Para isso, vamos usar o diferencial implícito, que nos permite encontrar mesmo quando está definido de forma implícita em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Isso agrupa todos os termos em um lado da equação, igualando a zero, o que facilita a aplicação da diferenciação.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário.
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Substituímos todas as derivadas na equação original derivada:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm e os que não contêm:

Passo 6

Isolamos :

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada da função implícita é:

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Determine a derivada de cada função a seguir.
Obtenha a equação da reta tangente:
À curva , no ponto
Esboce o gráfico das funções a seguir: