Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função implícita definida pela equação
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa derivada implícita. Quando temos uma equação que relaciona
e
de forma que não está resolvida para
, a gente usa a derivada implícita para encontrar
. Isso envolve derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação
com respeito a
.
-
Derivando
: - Aqui usamos a regra do produto: se temos
, a derivada é . -
então . -
, mas como é função de , derivamos usando a regra da cadeia: . - Então,
.
- Aqui usamos a regra do produto: se temos
-
Derivando
: - Novamente, usamos a regra do produto.
-
então . -
então . - Então,
.
Passo 4
Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
E a derivada do lado direito da equação
é
, porque a derivada de uma constante é zero.
Então, temos:
Passo 5
Vamos isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Podemos simplificar os sinais:
Resposta
A derivada da função implícita é:
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Determine a derivada de cada função a seguir.
Determine a derivada de cada função a seguir.
Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão: