Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função implícita definida pela equação . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivada implícita. Quando temos uma equação que relaciona e de forma que não está resolvida para , a gente usa a derivada implícita para encontrar . Isso envolve derivar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação com respeito a .
  1. Derivando :
    • Aqui usamos a regra do produto: se temos , a derivada é .
    • então .
    • , mas como é função de , derivamos usando a regra da cadeia: .
    • Então, .
  2. Derivando :
    • Novamente, usamos a regra do produto.
    • então .
    • então .
    • Então, .

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
E a derivada do lado direito da equação é , porque a derivada de uma constante é zero.
Então, temos:

Passo 5

Vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando :

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Podemos simplificar os sinais:

Resposta

A derivada da função implícita é:

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