Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função implícita definida pela equação . Para isso, vamos usar o Cálculo Diferencial, mais especificamente a derivação implícita. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto e a derivada de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma equação envolvendo e , e está “escondido” na equação, a derivada de em relação a (ou seja, ) pode ser encontrada diferenciando ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação:
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado esquerdo da equação. Usaremos a regra do produto para a primeira parte e a regra da cadeia para .
Derivando :
Agora, derivando :
Derivando :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função implícita é:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Determine a derivada de cada função a seguir.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Esboce o gráfico das funções a seguir: