Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função implícita definida pela equação
. Para isso, vamos usar o Cálculo Diferencial, mais especificamente a derivação implícita. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto e a derivada de funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma equação envolvendo
e
, e
está “escondido” na equação, a derivada de
em relação a
(ou seja,
) pode ser encontrada diferenciando ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado esquerdo da equação. Usaremos a regra do produto para a primeira parte
e a regra da cadeia para
.
Derivando
:
Agora, derivando
:
Derivando
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função implícita é:
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Determine a derivada de cada função a seguir.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Esboce o gráfico das funções a seguir: