Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na função que precisamos estudar: . O objetivo aqui é entender como essa função se comporta em relação à concavidade e identificar pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a saber se a curva está “sorrindo” (concava para cima) ou “chorando” (concava para baixo), além de encontrar onde essa curvatura muda de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, basicamente dizendo o quão íngreme é a curva naquele ponto.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada, que nos diz sobre a concavidade da função. Se a segunda derivada for positiva, a função é côncava para cima; se for negativa, côncava para baixo. Além disso, os pontos onde a segunda derivada muda de sinal são os pontos de inflexão.
Derivando a primeira derivada:

Passo 4

Vamos analisar a concavidade utilizando a segunda derivada :
  • Quando (ou seja, ), a função é côncava para cima.
  • Quando (ou seja, ), a função é côncava para baixo.
Sabendo disso, vamos identificar os intervalos onde isso ocorre.

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde :
Isso acontece quando , onde é um número inteiro. Em cada múltiplo de , a concavidade da função muda, indicando um ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para cima em intervalos onde está entre e côncava para baixo entre para todo inteiro . Os pontos de inflexão ocorrem em , onde é qualquer número inteiro.

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