Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função que precisamos estudar:
. O objetivo aqui é entender como essa função se comporta em relação à concavidade e identificar pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a saber se a curva está “sorrindo” (concava para cima) ou “chorando” (concava para baixo), além de encontrar onde essa curvatura muda de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, basicamente dizendo o quão íngreme é a curva naquele ponto.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada, que nos diz sobre a concavidade da função. Se a segunda derivada for positiva, a função é côncava para cima; se for negativa, côncava para baixo. Além disso, os pontos onde a segunda derivada muda de sinal são os pontos de inflexão.
Derivando a primeira derivada:
Passo 4
Vamos analisar a concavidade utilizando a segunda derivada
:
- Quando
(ou seja, ), a função é côncava para cima. - Quando
(ou seja, ), a função é côncava para baixo.
Sabendo disso, vamos identificar os intervalos onde isso ocorre.
Passo 5
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
:
Isso acontece quando
, onde
é um número inteiro. Em cada múltiplo de
, a concavidade da função muda, indicando um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para cima em intervalos onde
está entre
e côncava para baixo entre
para todo inteiro
. Os pontos de inflexão ocorrem em
, onde
é qualquer número inteiro.
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