integral duplaR raizx^2+y^2 d A, onde R=(x, y) mid 1 <= x^2+y^2 <= 9, y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde é a região definida por e . Estamos lidando com integração em coordenadas polares, porque a expressão sugere que transformar para polar facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as inequações que definem a região para coordenadas polares. Sabemos que e .
A condição se transforma em .
A condição significa que , ou seja, .

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares. Lembrando que integral duplaR raizx^2+y^2 , dA = integral0^pi integral1^3 r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral1^3 r^2 , dr , dtheta e .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral1^3 r^2 , dr = [ r^33 ]1^3 = 3^33 - 1^33 = 273 - 13 = 9 - 13 = 263 :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi 263 , dtheta = 263 cdot theta g|0^pi = 263 cdot pi - 263 cdot 0 = 26pi3

Resposta

O valor da integral dupla é .

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