Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar transformar a raiz em potência para facilitar a derivação e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando expoentes fracionários. A raiz de quarto pode ser escrita como potência . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. Neste caso, nossa função externa é e a função interna é . A regra da cadeia diz que a derivada de é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Matemáticamente, isso fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e . Vamos calcular:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, substituímos a derivada da função interna na expressão que tínhamos no Passo 3:
Podemos simplificar os coeficientes:
Então, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão das potências. Lembrando que , podemos reescrever:
Isso simplifica para:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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Verifique se os limites abaixo existem, justificando sua resposta.
Encontre a derivada da função.
Para os conjuntos e , considere as seguintes relações de em : e ; Determine: ;
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função