Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar transformar a raiz em potência para facilitar a derivação e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando expoentes fracionários. A raiz de quarto pode ser escrita como potência
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. Neste caso, nossa função externa é
e a função interna é
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Matemáticamente, isso fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função interna
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aqui,
e
. Vamos calcular:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, substituímos a derivada da função interna na expressão que tínhamos no Passo 3:
Podemos simplificar os coeficientes:
Então, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão das potências. Lembrando que
, podemos reescrever:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, a derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Verifique se os limites abaixo existem, justificando sua resposta.
Encontre a derivada da função.
Para os conjuntos
e
, considere as seguintes relações de
em
:
e
; Determine:
;
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função