Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível. y = sen(3 x) / arctg(4 x)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Precisamos encontrar a derivada da função . Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia, que são conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, identifica as duas partes da função que formam o quociente. Vamos chamar:
Para derivar , usamos a regra do quociente, que diz:

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada de é:
Aplicando isso:

Passo 5

Com e encontrados, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada da função é:

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