Seja f(x, y) = y / (x + y). Determine um vetor unitário u para o qual D_u f(2,3) = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar um vetor unitário tal que a derivada direcional de na direção de no ponto seja igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada direcional e vetores unitários.

Passo 2

A derivada direcional de uma função em uma direção é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
No ponto :

Passo 4

Queremos que a derivada direcional seja zero:
Substituindo os valores:
Isso implica que , ou seja, .

Passo 5

Como é um vetor unitário, deve satisfazer:
Substituindo :
Assim,

Resposta

Um vetor unitário que satisfaz é:

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