Mostre que se e , então a aproximação linear local da função em é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa encontrar a aproximação linear dela perto do ponto . Isso significa que queremos simplificar a função perto desse ponto usando uma expressão mais simples, tipo uma reta, para facilitar os cálculos. Para fazer isso, vamos usar o conceito de aproximação linear ou linearização, que envolve derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aproximação linear de uma função de duas variáveis em um ponto é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Vamos calcular cada termo dessa expressão.

Passo 3

Primeiro, calculamos :
Então, o primeiro termo da aproximação linear é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Para isso, tratamos como constante e derivamos em relação a :
Avaliando em :
Então, o termo vira .

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de :
Avaliando em :
Então, o termo fica .

Passo 6

Agora, juntando todos os termos que calculamos:
Isso é a aproximação linear da função perto do ponto .

Resposta

Portanto, a aproximação linear local da função em é:

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Encontre as equações da reta tangente e normal à curva no ponto dado.
Encontre a derivada da função.
As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh e , respectivamente. Calcule o limite dessas funções para e esboce o gráfico das mesmas.
Use a diferencial total para aproximar a variação em quando varia de para .