Mostre que se
e
, então a aproximação linear local da função
em
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa encontrar a aproximação linear dela perto do ponto
. Isso significa que queremos simplificar a função perto desse ponto usando uma expressão mais simples, tipo uma reta, para facilitar os cálculos. Para fazer isso, vamos usar o conceito de aproximação linear ou linearização, que envolve derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aproximação linear de uma função de duas variáveis em um ponto
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Vamos calcular cada termo dessa expressão.
Passo 3
Primeiro, calculamos
:
Então, o primeiro termo da aproximação linear é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Para isso, tratamos
como constante e derivamos em relação a
:
Avaliando em
:
Então, o termo
vira
.
Passo 5
Da mesma forma, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
:
Avaliando em
:
Então, o termo
fica
.
Passo 6
Agora, juntando todos os termos que calculamos:
Isso é a aproximação linear da função
perto do ponto
.
Resposta
Portanto, a aproximação linear local da função
em
é:
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As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh
e
, respectivamente. Calcule o limite dessas funções para
e esboce o gráfico das mesmas.
Use a diferencial total para aproximar a variação em
quando
varia de
para
.