Encontre as equações da reta tangente e normal à curva no ponto dado.
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito: temos a curva
e queremos encontrar as equações da reta tangente e da reta normal a essa curva no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para determinar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, encontrar a reta normal que é perpendicular à tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
. Aqui, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.
A regra da cadeia diz que se
, então a derivada
é:
No nosso caso,
e
. Então, vamos derivar passo a passo.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, precisamos calcular o valor da derivada no ponto
:
Vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que
e
são valores que podemos obter usando uma calculadora. Aproximadamente:
Então,
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente
e sabendo que a reta passa pelo ponto
, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal
, usamos a relação de perpendicularidade:
Usando novamente a fórmula da reta na forma ponto-inclinação com a inclinação
e o mesmo ponto
:
Resposta
As equações das retas tangente e normal à curva
no ponto
são:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função.
Calcule o valor dos seguintes limites:
(ν)
(ß)
(γ)
(ס)
(o)
(є)
(π)
(५)
(ρ)
(η)
(σ)
(τ)
(日)
(v)
(८)
(φ)
(к)
(χ)
(λ)
(ψ)
(μ)
(w) .
(ν)
(ß)
(γ)
(ס)
(o)
(є)
(π)
(५)
(ρ)
(η)
(σ)
(τ)
(日)
(v)
(८)
(φ)
(к)
(χ)
(λ)
(ψ)
(μ)
(w)
Mostre que se
e
, então a aproximação linear local da função
em
é
.
As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh
e
, respectivamente. Calcule o limite dessas funções para
e esboce o gráfico das mesmas.