Encontre as equações da reta tangente e normal à curva no ponto dado.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: temos a curva e queremos encontrar as equações da reta tangente e da reta normal a essa curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para determinar a inclinação da reta tangente e, a partir disso, encontrar a reta normal que é perpendicular à tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto . Aqui, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.
A regra da cadeia diz que se , então a derivada é:
No nosso caso, e . Então, vamos derivar passo a passo.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
Agora, precisamos calcular o valor da derivada no ponto :
Vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que e são valores que podemos obter usando uma calculadora. Aproximadamente:
Então,

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal , usamos a relação de perpendicularidade:
Usando novamente a fórmula da reta na forma ponto-inclinação com a inclinação e o mesmo ponto :

Resposta

As equações das retas tangente e normal à curva no ponto são:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada da função.
Calcule o valor dos seguintes limites:
(ν)
(ß)
(γ)
(ס)
(o)
(є)
(π)
(५)
(ρ)
(η)
(σ)
(τ)
(日)
(v)
(८)
(φ)
(к)
(χ)
(λ)
(ψ)
(μ)
(w) .
Mostre que se e , então a aproximação linear local da função em é .
As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh e , respectivamente. Calcule o limite dessas funções para e esboce o gráfico das mesmas.