Transforme a equação
para coordenadas cartesianas e descreva o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que está em coordenadas esféricas: . A ideia aqui é transformar essa equação para coordenadas cartesianas (x, y, z) e depois entender qual é o gráfico dessa equação. Para isso, vamos precisar saber como converter de coordenadas esféricas para cartesianas usando as fórmulas de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas:
Essas fórmulas nos permitem passar de
para
.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação dada:
Observamos que no lado direito da equação temos , que aparece exatamente na fórmula para
. Ou seja:
Substituindo isso na equação original:
Aqui, dividimos ambos os lados da equação de
por
para isolar .
Passo 4
Vamos resolver a equação que ficou:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Sabemos que em coordenadas esféricas,
. Portanto:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para identificar a figura geométrica:
Completando o quadrado para o termo em
:
Resposta
A equação transformada para coordenadas cartesianas é
, que representa uma esfera de raio 1 centrada no ponto (1, 0, 0).
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onde
e
são constantes. Obtenha o valor de
no limite em que
suficientemente próxima da origem, ou seja, o limite
.