Transforme a equação rho = 2 sen(phi) cos(theta) para coordenadas cartesianas e descreva o seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que está em coordenadas esféricas: . A ideia aqui é transformar essa equação para coordenadas cartesianas (x, y, z) e depois entender qual é o gráfico dessa equação. Para isso, vamos precisar saber como converter de coordenadas esféricas para cartesianas usando as fórmulas de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas:
Essas fórmulas nos permitem passar de para .

Passo 3

Agora, vamos usar a equação dada:
Observamos que no lado direito da equação temos , que aparece exatamente na fórmula para . Ou seja:
Substituindo isso na equação original:
Aqui, dividimos ambos os lados da equação de x por para isolar .

Passo 4

Vamos resolver a equação que ficou:
Multiplicando ambos os lados por rho para eliminar o denominador:
Sabemos que em coordenadas esféricas, . Portanto:

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para identificar a figura geométrica:
Completando o quadrado para o termo em x:

Resposta

A equação transformada para coordenadas cartesianas é , que representa uma esfera de raio 1 centrada no ponto (1, 0, 0).

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